18初中数学联赛试题参考答案和评分标准1

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）21．设二次函数x2a y2ax的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为等边三角2形时，其边长为（）A.6．B.22．C.23．D.32．【答】C.a2由题设知A(a,).设B(x1,0)，C(x2,0)，二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为D，则22|22a BCx21x2|(x1x2)4x1x24a42a.23a23||222又ADBC，则a，解得a62或a0（舍去）.222所以，△ABC的边长BC2a2

23.2．如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BD于点E，AB1，CAE15，则BE（）32A.．B.．C.21．D.31．A D32【答】D.E延长AE交BC于点F，过点E作BC的垂线，垂足为H.由已知得BAFFADAFBHEF45，BFAB1，B CH FEBHACB30.x3x设BEx，则HFHE，BH.223x x因为BFBHHF，所以1，解得x3

1.所以BE3

1.22223．设p,q均为大于3的素数，则使p5pq4q为完全平方数的素数对(p,q)的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第1页（共10页）p25pq4q22设m（m22为自然数），则(p2q)pqm，即(mp2q)(mp2q)pq.由于p,q为素数，且mp2qp,mp2qq，所以mp2q1，mp2qpq，从而pq2p4q10，即(p4)(q2)9，所以(p,q)(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p,q)的个数为

2.(1a)2(1b)24．若实数a,b满足ab2，4，则a5b5（）b aA.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.(1a)2(1b)2由条件4得ab2a22b24aba3b30，b a即(ab)2[(ab)24ab](ab)[(ab)23ab]0，又ab2，所以22[44ab]2[43ab]0，解得ab1a2b2a b)

2.所以(2ab6，a3b3(ab)[(ab)23ab]14a5b5，(a2b2)(a3b3)a2b2(ab)

82.5．对任意的整数x,y，定义x@yxyxy，则使得(x@y)@z(y@z)@x(z@x)@y0的整数组(x,y,z)的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.(x@y)@z(xyxy)@z(xyxy)z(xyxy)zxyzxyyzzxxyz，由对称性，同样可得(y@z)@xxyzxyyzzxxyz，(z@x)@yxyzxyyzzxxyz.所以，由已知可得xyzxyyzzxxyz0，即(x1)(y1)(z1)

1.所以，x,y,z为整数时，只能有以下几种情况x11,x11,x11,x11,y11,或y11,或y11,或y11,z11,z11,z11,z11,所以，(x,y,z)(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第2页（共10页）111116．设M，则的整数部分是（）2018201920202050M A.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.1120185因为M33，所以

61.2018M3333111111又M()()2018201920302031203220501113451320，203020508323018323011851所以61，故的整数部分为

61.M13451345M

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC2AB，CEAB于E，F为AD的中点，若AEF48，则B_______．【答】84.A F设BC的中点为G，连结FG交CE于H，由题设条件知FGCD为菱形.D由AB//FG//DC及F为AD的中点，知H为CE的中点.又CEAB，所以CEFG，所以FH垂直平分CE，故E HDFCGFCEFGAEF48.B CG所以BFGC18024884.152．若实数x,y满足x3y31(xy)，则xy的最大值为．42【答】

3.1152由x32115y3(xy)可得(xy)(xxyy)(xy)，即4242115(xy)(x2xyy2).

①42令xy221y k23(21，注意到xxyyx)y0，故xyk

0.4244221)21115又因为xxyy(xy3xy3，故由

①式可得k3xykk，所以44423115kkxy

42.3k k3115k于是，x,y可看作关于t2的一元二次方程tkt420的两根，所以3k k3115k(k)24420，3k3化简得kk300，即(k3)(k23k10)0，所以0k

3.故xy的最大值为

3.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第3页（共10页）3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】

21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和

5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为8787618816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为88762688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816268821504（个）.a54．已知实数a,b,c满足abc0a2b5c5b22，c1，则．abc5【答】.211由已知条件可得abbcca[(abc)2(a2b2c2)]，a3b3c33abc，所以22a5b5c5(a2b2c2)(a3b3c3)[a2(b3c3)b2(a3c3)c2(a3b3)]3abc[a2b2(ab)a2c2(ac)b2c2(bc)]3abc(a2b2ca2c2bb2c2a)153abcabc(abbcca)3abcabcabc.22a5b5c55所以.abc2第一试(B)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．满足(x2x1)x21的整数x的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】C.当x202且xx10时，x

2.2当xx11时，x2或x

1.2当xx11且x2为偶数时，x

0.所以，满足条件的整数x有3个.2．已知x1,x2,x3(x1x2x3)为关于x的方程x33x2(a2)xa0的三个实数根，则4xx2x2x21123（）A.5．B.6．C.7．D.8．2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第4页（共10页）【答】A.2方程即(x1)(x2xa)0，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是x21,x1x32，故4x2221x1x2x3(x3x1)(x3x1)4x112(x3x1)4x112(x3x1)1

5.3．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD4CE，EFBFBC，则tanABF（）1323A.．B.．C.．D.．2522【答】B.不妨设CD4，则CE1,DE

3.设DFx，则AF4x F2，Ex

9.作BHEF于点H.因为EFBFBCAFB，BAF90BHF，BF公共，所以△BAF≌△BHF，所以BHBA

4.由S四边形ABCDSABFSBEFSDEFSBCE得A FD1111424(4x)4x293x41，2222H8解得x.5E12AF3所以AF4x，tanABF.B C5AB534．方程39xx的实数根的个数为（）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y9x22，则y0，且xy9，原方程变为3y3y9，解得y1或y6，从而可得x8或x

27.检验可知x8是增根，舍去；x27是原方程的实数根.所以，原方程只有1个实数根.5．设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a,b,c)的个数为（）A.4．B.5．C.6．D.7．【答】B.由已知得，a2017bc2018，b2017ac2018，c2017ab2018，两两作差，可得(ab)(12017c)0，(bc)(12017a)0，(ca)(12017b)

0.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第5页（共10页）1由(ab)(12017c)0，可得ab或c.20172018

（1）当abc时，有2017a2a20180，解得a1或a.201711

（2）当abc时，解得ab，c2018.2017201711111

（3）当ab时，c，此时有a,b2018，或a2018,b.20172017201720172017故这样的三元数组(a,b,c)共有5个.326．已知实数a,b满足a3a5a1b3，3b25b5，则ab（）A.2．B.3．C.4．D.5．【答】A.有已知条件可得(a1)32(a1)2，(b1)32(b1)2，两式相加得(a1)32(a1)(b1)32(b1)0，)()2()2因式分解得(ab2[a1(a1)b1(b1)2]

0.因为13(a1)2(a1)(b1)(b1)22[(a1)(b1)]2(b1)220，24所以ab20，因此ab

2.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知p,q,r为素数，且pqr整除pqqrrp1，则pqr_______．【答】

10.pqqrrp111113设k，由题意知k是正整数，又p,q,r2，所以k，从pqr pq rpqr2而k1，即有pqqrrp1pqr，于是可知p,q,r互不相等.当2pqr时，pqrpqqrrp13qr，所以q3，故q

2.于是2qrqr2q2r1，故(q2)(r2)3，所以q21,r23，即q3,r5，所以，(p,q,r)(2,3,5).再由p,q,r的对称性知，所有可能的数组(p,q,r)共有6组，即(2,3,5)，(2,5,3)，(3,2,5)，(3,5,2)，(5,2,3)，(5,3,2).于是pqr

10.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第6页（共10页）2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】

8.设这两个数为m2,n(m2n)m2n m2，则n1000(2，即m1)(n1)

1001.又100110011143791117713(2，所以m1,n1)＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有(m21,n1)(143,7)2满足条件，此时m144,n

8.3．已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB6，BC10，BADBCD，EDCABD，则DE．【答】F

4.1延长CD至F，使DFDC，则DE//AF且DEAF，2A所以AFDEDCABD，故A,F,B,D四点共圆，于是D EBFDBADBCD，所以BFBC10，且BDFC，故FABFDB90.B C221又AB6，故AF1068，所以DEAF

4.24．已知二次函数yx22(m2n1)x(m24n250)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为．【答】

16.因为二次函数的图象在x轴的上方，所以[2(m2n1)]24(m24n250)0，整理得514mn2m4n49，即(m1)(2n1).因为m,n为正整数，所以(m1)(2n1)

25.225又m12，所以2n1，故n

5.22522当n1时，m1，故m，符合条件的正整数对(m,n)有8个；33当n2时，m15，故m4，符合条件的正整数对(m,n)有4个；2518当n3时，m1，故m，符合条件的正整数对(m,n)有2个；772517当n4时，m1，故m，符合条件的正整数对(m,n)有1个；992514当n5时，m1，故m，符合条件的正整数对(m,n)有1个.1111综合可知符合条件的正整数对(m,n)有8＋4＋2＋1＋1＝16个.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第7页（共10页）第二试（A）

一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x210cx11d0的根，c,d为方程x210ax11b0的根，求abcd的值.解由韦达定理得ab10c，cd10a，两式相加得abcd10(ac).……………………5分因为a是方程x210cx11d02的根，所以a10ac11d0，又d10ac，所以a2110a11c10ac

0.

①……………………10分类似可得c2110c11a10ac

0.

②……………………15分

①－

②得(ac)(ac121)

0.因为ac，所以ac121，所以abcd10(ac)

1210.……………………20分

二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，AOB90，OA12，点C在OA上，AC4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.

（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；A

（2）求CE2DE的最小值.解

(1)分别过O,E作CD的垂线，垂足为M,N.C E由OD6,OC8，得CD

10.所以M F1N SSOCDSECDCD(OMEN)O DB G211CDOE101260，……………………5分22当OEDC时，S取得最大值

60.6836此时，EFOEOF12.……………………10分105

（2）延长OB至点G，使BGOB12，连结GC,GE.OD OE1DE1因为，DOEEOG，所以△ODE∽△OEG，所以，故EG2DE.OE OG2EG2……………………20分所以CE2DECEEGCG24282810，当C,E,G三点共线时等号成立.故CE2DE的最小值为

810.……………………25分2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第8页（共10页）m3n3m2n2

三、（本题满分25分）求所有的正整数m,n，使得是非负整数.(mn)2m3n3m2n2解记S，则(mn)2(mn)[(mn)23mn]m2n23mn mnS(mn)()

2.(mn)2mn mn mnq因为m,n为正整数，故可令，p,q为正整数，且(p,q)

1.mn p3q q23pqq2于是S(mn)(mn).p p2p2因为S p2为非负整数，所以|q，又(p,q)1，故p1，即(mn)|mn.

①……………………10分n2mn所以n22是整数，所以(mn)|n2，故nmn，即nmn.mn mn33又由S0m22，知mnn

0.

②所以n3m2n2m3m2(n2m)m2n，所以nm.由对称性，同理可得mn，故mn.……………………20分把mn代入

①，得2|m，则m

2.把mn代入

②，得2m3m40，即m

2.故m

2.所以，满足条件的正整数m,n为m2，n

2.……………………25分第二试（B）1119

一、（本题满分20分）若实数a,b,c满足(abc)()，求ab5c bc5a ca5b5111(abc)()的值.a bc解记abcx，abbccay，abcz，则111111(abc)()x()ab5c bc5a ca5b x6a x6b x6c x[3x212(abc)x36(abbcca)]x(9x236y)，x336(abc)x236(abbcca)x216abc5x36xy216z……………………10分2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第9页（共10页）x(9x236y)927结合已知条件可得，整理得xyz.所以5x336xy216z52111xy27(abc)().……………………20分a bc z2

二、（本题满分25分）如图，点E在四边形ABCD的边AB上，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，ABAC，DEDC.DP

（1）证明AD//BC；

（2）设AC与DE交于点P，如果ACE30，求.PE解

（1）由题意知ACBDCE45，BC2AC，EC2DC，A DAC DCP所以DCAECB，，所以△ADC∽△BEC，故DACBC ECEEBC45，所以DACACB，所以AD//BC.……………………10分B C

（2）设AEx，因为ACE30，可得AC3x，CE2x，DEDC2x.1因为EAPCDP90，EPACPD，所以△APE∽△DPC，故可得SAPESDPC.2……………………15分3S2又EPCSAPESCx2A E，SEPCSDPCSCDEx，于是可得2SDPC(23)x2，SEPC(31)x

2.……………………20分DP S所以DP2331C.……………………25分PE SEPC312

三、（本题满分25分）设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x1的各位数字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.解设xabcd，由题设知m与n的最大公约数(m,n)为大于2的素数.若d9，则nm1，所以(m,n)1，矛盾，故d

9.……………………5分若c9，则nm19m8，故(m,n)(m,8)，它不可能是大于2的素数，矛盾，故c

9.……………………10分若b9，显然a9，所以nm1999m26，故(m,n)(m,26)13，但此时可得n13，mn263936，矛盾.……………………15分若b9，则nm199m17，故(m,n)(m,17)17，只可能n17,m

34.……………………20分于是可得x8899或

9799.……………………25分2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第10页（共10页）。