《抽象代数》课件

抽象代数概述抽象代数是现代数学中重要的基础学科之一，它研究各种代数结构，例如群、环、域等，及其性质，并探讨它们之间的关系课程目标与大纲课程目标课程大纲本课程旨在让学生了解抽象代数的基本概念和理论，并培养学生用课程将涵盖以下内容群论、环论、域论、Galois理论、模论、抽象代数的方法解决数学问题的能力格论等抽象代数的历史发展世纪初119伽罗瓦和阿贝尔对群论的早期研究奠定了抽象代数的基础世纪中叶219黎曼和德德金等数学家进一步发展了环论和域论世纪320抽象代数成为现代数学的重要组成部分，在许多领域得到广泛应用抽象代数在现代数学中的地位基础理论广泛应用12抽象代数是现代数学中许多分抽象代数的理论和方法广泛应支学科的基础理论，如代数拓用于物理学、化学、计算机科扑、代数几何、代数数论等学、密码学等领域未来发展3抽象代数的研究仍在不断发展，新的理论和方法不断涌现，并将继续推动其他学科的发展集合论基础回顾集合集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的、不同的对象组成的整体元素集合中的每个对象被称为该集合的元素子集如果集合A中的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集交集与并集两个集合的交集包含所有同时属于这两个集合的元素，而它们的并集包含所有属于这两个集合中的任何一个的元素二元运算与代数结构二元运算代数结构二元运算是一个将两个元素映射到同一个集合中的一个元素的运算代数结构是一个集合，以及在这个集合上定义的一个或多个二元运算，以及这些运算满足的一些性质群的定义与性质群的定义群的性质一个群是一个集合G，以及在这个集合上定义的二元运算·，满足以群具有很多重要的性质，例如*单位元是唯一的*每个元素的下性质*运算·是结合律的对于任意a、b、c属于G，有a·b·c逆元是唯一的*运算的消去律成立如果a·b=a·c，则b=c=a·b·c*存在单位元e属于G对于任意a属于G，有a·e=e·a=a*每个元素都有逆元对于任意a属于G，存在a的逆元a-1属于G，满足a·a-1=a-1·a=e群的基本例子整数加法群所有整数在加法运算下形成一个群非零实数乘法群所有非零实数在乘法运算下形成一个群模加法群n所有模n的剩余类在模n加法运算下形成一个群对称群所有一个集合上的置换在复合运算下形成一个群子群的概念子群的定义一个集合H是群G的子群，当且仅当H也是一个群，且H的运算与G的运算相同子群的性质子群是群的一个重要组成部分，它继承了群的很多性质子群的例子整数加法群的所有偶数是一个子群子群的判定定理判定定理一个群G的非空子集H是一个子群，当且仅当以下条件成立*对任意a、b属于H1，有a·b属于H*对任意a属于H，有a-1属于H应用2该定理可以用来判断一个子集是否为一个子群循环群循环群的性质循环群是群中最简单的结构之一，它具有很多独特的性质循环群的定义循环群的例子一个循环群是一个由一个元素生成的群，即模n加法群是一个循环群，因为所有元素都所有元素都是这个元素的幂是模n加法的单位元1的幂213生成元与阶生成元阶一个元素g是群G的生成元，如果G中所有元素都是g的幂元素a的阶是使an=e成立的最小正整数n陪集与拉格朗日定理陪集拉格朗日定理对于一个群G的子群H和一个元素a属于G，a的左陪集是集合aH=一个有限群G的子群H的阶是群G的阶的因数{ah|h属于H}正规子群正规子群的定义1一个子群H是群G的正规子群，当且仅当对于任意a属于G，有aH=Ha正规子群的性质2正规子群在群论中扮演着重要的角色，它具有很多特殊性质正规子群的例子3整数加法群的所有偶数是一个正规子群商群12商群的定义商群的性质对于一个群G的正规子群N，G对N的商群继承了原群的很多性质，它是一商群G/N是所有G的左陪集的集合，定个新的群义在陪集上的运算为aN·bN=abN3商群的例子整数加法群对所有偶数的商群是模2加法群同态与同构同态同构一个从群G到群H的映射φ称为同态，如果它保持了群运算φa·b一个同态φ称为同构，如果它是一个双射=φa·φb同态基本定理基本定理1对于一个群G的正规子群N，同态基本定理指出G/N与φG同构应用2该定理可以用来将一个群分解为一个商群和一个同态像置换群置换置换群一个集合S上的置换是一个从S到S的双射1所有集合S上的置换在复合运算下形成一个群2置换群的应用置换群的例子4置换群在密码学、编码理论等领域有重要所有n个元素的集合上的所有置换形成的3应用群称为n阶对称群，记为Sn群在集合上的作用群作用的定义群作用的性质一个群G在集合X上的作用是一个映射，它将每个群元素g映射到X群作用可以用来研究集合的结构和对称性上的一个置换，满足以下性质*对于任意g、h属于G，有ghx=ghx*对于单位元e属于G，有ex=x定理Cayley定理内容1CayleyCayley定理指出，任何一个有限群都同构于一个置换群定理的意义2Cayley该定理表明，置换群是一个重要的群类型，它可以用来表示其他任何有限群定理Sylow I定理的内容Sylow ISylow定理I指出，如果p是素数，且pk是有限群G的阶的因数，则G至少含有一个阶为pk的子群定理的应用Sylow I该定理可以用来寻找有限群的子群定理Sylow II定理的内容Sylow IISylow定理II指出，一个有限群G的阶为pk的所有子群都共轭于一个子群定理的应用Sylow II该定理可以用来研究有限群的结构定理Sylow III定理的应用Sylow III定理的内容Sylow III该定理可以用来计算有限群中阶为pk的子群的个数Sylow定理III指出，有限群G的阶为pk的所有子群的个数np满足以下条件*np是p的倍数*np整除G的阶除以pk的商有限群的结构Abel2有限群的结构Abel有限Abel群的结构可以由其基本不变元来描述有限群的定义Abel一个有限Abel群是一个交换群，且其阶是有1限的有限群的例子Abel模n加法群是一个有限Abel群3群的直积与半直积直积的定义半直积的定义两个群G和H的直积是所有G和H的元素的有序对的集合，定义在如果群G有一个正规子群N，且G/N同构于另一个群H，则G称为有序对上的运算为a,b·c,d=a·c,b·d N和H的半直积可解群可解群的定义可解群的性质可解群的例子一个群G称为可解群，如果它有一个可解群具有很多特殊的性质，例如所有有限Abel群都是可解群正规子群链，使得每个商群都是循环*可解群的子群也是可解群*可解群群的商群也是可解群环的定义与性质环的定义环的性质一个环是一个集合R，以及在这个集合环具有很多重要的性质，例如*0·a上定义的两个二元运算+和·，满足以=a·0=0*-a·b=-a·b=a·-b下性质*R对于加法运算+形成一个Abel群*运算·是结合律的对于任意a、b、c属于R，有a·b·c=a·b·c*运算·对加法运算+是分配律的对于任意a、b、c属于R，有a·b+c=a·b+a·c以及b+c·a=b·a+c·a环的基本例子整数环1所有整数在加法和乘法运算下形成一个环多项式环2所有一个域上的多项式在加法和乘法运算下形成一个环矩阵环3所有一个域上的n×n矩阵在加法和乘法运算下形成一个环整环与除环整环的定义除环的定义一个环R称为整环，如果它满足以下性质*乘法运算·是交换律的一个环R称为除环，如果它满足以下性质*乘法运算·是交换律的对于任意a、b属于R，有a·b=b·a*存在单位元1属于R对对于任意a、b属于R，有a·b=b·a*存在单位元1属于R对于任意a属于R，有a·1=1·a=a*没有零因子如果a·b=0，则于任意a属于R，有a·1=1·a=a*除零之外的每个元素都有逆元a=0或b=0对于任意a属于R，如果a≠0，则存在a的逆元a-1属于R，满足a·a-1=a-1·a=1理想的概念理想的定义一个环R的理想I是一个R的非空子集，满足以下性质*对于任意a、b属于I，有a+b属于I*对于任意a属于I和r属于R，有ra属于I和ar属于I理想的性质理想是环的一个重要组成部分，它可以用来构造商环主理想环主理想环的定义一个环R称为主理想环，如果它的每个理想都是由一个元素生成的，即I=a={ra|r属于R}主理想环的性质主理想环具有很多特殊的性质，例如*在主理想环中，每个元素都可以唯一地分解为不可约元素的乘积主理想环的例子整数环是一个主理想环商环123商环的定义商环的性质商环的例子对于一个环R的理想I，R对I的商环R/I是所商环继承了原环的很多性质，它是一个新的整数环对所有偶数的商环是模2环有R的剩余类的集合，定义在剩余类上的运环算为a+I+b+I=a+b+I和a+I·b+I=a·b+I环同态基本定理基本定理1对于一个环R的理想I，环同态基本定理指出R/I与φR同构应用2该定理可以用来将一个环分解为一个商环和一个同态像多项式环多项式环的定义多项式环的性质一个域F上的多项式环是所有以F中的元素为系数的多项式的集合，多项式环是环论中一个重要的研究对象，它具有很多特殊的性质定义在多项式上的运算为加法和乘法唯一因子分解整环唯一因子分解整环的定义唯一因子分解整环的性质唯一因子分解整环的例子一个整环R称为唯一因子分解整环，唯一因子分解整环是整环中一个重要整数环是一个唯一因子分解整环如果它的每个非零非单位元素都可以的类型，它具有很多独特的性质唯一地分解为不可约元素的乘积欧几里得环欧几里得环的定义1一个整环R称为欧几里得环，如果它存在一个函数d R\{0}→N，满足以下性质*对于任意a、b属于R，如果b≠0，则存在q、r属于R，使得a=bq+r，且要么r=0，要么drdb欧几里得环的性质2欧几里得环是整环中一个重要的类型，它具有很多特殊的性质，例如*在欧几里得环中，我们可以用欧几里得算法来求两个元素的最大公约数欧几里得环的例子3整数环是一个欧几里得环主理想整环主理想整环的定义主理想整环的性质一个整环R称为主理想整环，如果主理想整环是整环中一个重要的类它的每个理想都是由一个元素生成型，它具有很多特殊的性质，例如的*在主理想整环中，每个元素都可以唯一地分解为不可约元素的乘积主理想整环的例子整数环是一个主理想整环域的定义与性质域的定义域的性质一个域是一个集合F，以及在这个集合域具有很多重要的性质，例如*每上定义的两个二元运算+和·，满足以个非零元素都有逆元*域是整环下性质*F对于加法运算+形成一个Abel群*F对于乘法运算·形成一个Abel群，且单位元为1，且0≠1*运算·对加法运算+是分配律的对于任意a、b、c属于F，有a·b+c=a·b+a·c以及b+c·a=b·a+c·a有理数域与实数域有理数域实数域所有有理数在加法和乘法运算下形成一个域，记为Q所有实数在加法和乘法运算下形成一个域，记为R复数域复数域的定义复数域C是所有形如a+bi的数的集合，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i2=-1复数域的性质复数域具有很多特殊的性质，例如*复数域是一个代数闭域，即任何复系数多项式都至少有一个复根域的特征域的特征的定义一个域F的特征是使n·1=0成立的最小正整数n，如果不存在这样的n，则称F的特征为0域的特征的性质域的特征可以用来区分不同类型的域代数扩张与超越扩张代数扩张的定义超越扩张的定义一个域F的扩张K称为F的代数扩一个域F的扩张K称为F的超越扩张，如果K中的每个元素都是某张，如果K中存在一个元素不是个以F中的元素为系数的多项式任何以F中的元素为系数的多项的根式的根扩张的例子复数域C是实数域R的代数扩张有限域有限域的性质有限域具有很多特殊的性质，例如*有限域的元素个数一定是某个素数的幂有限域的例子有限域的定义模p的剩余类在模p加法和乘法运算下形成一个有限域是一个元素个数有限的域一个有限域，记为Fp213域的自同构群自同构的定义自同构群的定义一个域F的自同构是F到F自身的同构所有域F的自同构在复合运算下形成一个群，称为F的自同构群分裂域分裂域的定义一个域F上的多项式fx的分裂域是一个包含fx的所有根的F的最小扩张域分裂域的性质分裂域是研究多项式的重要工具，它可以用来将一个多项式分解成线性因式的乘积代数闭域代数闭域的定义一个域F称为代数闭域，如果任何以F中的元素为系数的多项式都至少有一个F中的根代数闭域的性质代数闭域是一个重要的域类型，它具有很多特殊的性质，例如*在代数闭域中，每个不可约多项式都是线性的理论导引Galois理论GaloisGalois理论是一个研究域扩张和群论之间的关系的数学分支理论的应用GaloisGalois理论可以用来解决一些经典的数学问题，例如*五次方程的不可解性群Galois群的定义1Galois对于一个域F的扩张K，K的Galois群是所有K到K自身的自同构，并且固定F中所有元素的集合，定义在自同构上的运算为复合运算群的性质2GaloisGalois群是一个重要的群，它可以用来研究域扩张的结构基本定理对应I Galois对应定理对应定理的意义Galois GaloisGalois对应定理指出，一个域F的扩张K的Galois群与其所有子域该定理可以用来研究域扩张的结构和Galois群之间的关系的集合之间存在一个一一对应关系基本定理正规扩张II基本定理的意义II基本定理的内容II该定理可以用来判断一个域扩张是否为正规正规扩张的定义基本定理II指出，一个域F的扩张K是F的正扩张一个域F的扩张K称为F的正规扩张，如果K规扩张，当且仅当K的Galois群在K中所有是某个以F中的元素为系数的多项式fx的自同构的集合上是传递的分裂域基本定理可解扩张III可解扩张的定义一个域F的扩张K称为F的可解扩张，如果K的Galois群是一个可解群基本定理的内容III基本定理III指出，一个域F的扩张K是F的可解扩张，当且仅当K可以由一系列有限次循环扩张来构造基本定理的意义III该定理可以用来判断一个域扩张是否为可解扩张五次方程的不可解性五次方程的不可解性五次方程的不可解性是指，一般五次方程无法用根式来表示其根理论的应用GaloisGalois理论可以用来证明五次方程的不可解性尺规作图问题尺规作图问题的例子2尺规作图问题包括*三等分角*倍立方体*化圆为方尺规作图尺规作图是指，只能使用直尺和圆规来1进行几何作图理论的应用GaloisGalois理论可以用来证明某些尺规作图问3题是不可解的模论简介模的定义模的应用一个环R上的模是一个Abel群M，以及一个从R×M到M的映射，满模论是环论的一个重要分支，它可以用来研究环的结构和性质足以下性质*r·x+y=r·x+r·y*r+s·x=r·x+s·x*r·s·x=r·s·x*1·x=x向量空间与线性代数的联系线性代数的联系向量空间与模的关系线性代数是向量空间的一个重要应用，它可向量空间的定义向量空间是模的一个特殊情况，即当环R是以用来解决线性方程组、矩阵等问题一个域F上的向量空间是一个Abel群V，以一个域时及一个从F×V到V的映射，满足以下性质*a·x+y=a·x+a·y*a+b·x=a·x+b·x*a·b·x=a·b·x*1·x=x格论简介格的定义一个格是一个集合L，以及一个偏序关系≤，满足以下性质*对于任意x、y属于L，存在x和y的最小上界，记为x∨y*对于任意x、y属于L，存在x和y的最大下界，记为x∧y格的应用格论是一个研究偏序关系的数学分支，它可以用来研究集合的结构和性质抽象代数在密码学中的应用12公钥密码体制椭圆曲线密码体制抽象代数可以用来设计公钥密码体制抽象代数可以用来设计椭圆曲线密码，例如RSA算法体制，例如ECC算法3编码理论抽象代数可以用来设计编码理论，例如纠错码抽象代数在编码理论中的应用线性码抽象代数可以用来设计线性码，例如汉明码1循环码2抽象代数可以用来设计循环码，例如BCH码代数几何码3抽象代数可以用来设计代数几何码，例如Goppa码抽象代数在量子计算中的应用量子纠错码量子算法抽象代数可以用来设计量子纠错码，以保1抽象代数可以用来设计量子算法，以解决护量子比特免受噪声的影响一些经典算法无法解决的问题2拓扑量子计算量子密码4抽象代数可以用来研究拓扑量子计算，以抽象代数可以用来设计量子密码，以实现3实现容错性更强的量子计算安全的密钥分发总结与展望总结抽象代数是现代数学中重要的基础学科之一，它研究各种代数结构，例如群、环、域等，及其性质，并探讨它们之间的关系展望抽象代数的研究仍在不断发展，新的理论和方法不断涌现，并将继续推动其他学科的发展。