《有余数的除法理解与应用》课件

有余数的除法理解与应用欢迎来到《有余数的除法理解与应用》课程在这个课程中，我们将探索数学中一个重要的概念带余除法这不仅是一个基础的数学运算，更是解决日常生活中众多实际问题的关键工具课程目标1理解有余数除法的概念2掌握有余数除法的计算方法我们将深入探讨有余数除法的本质，帮助学生建立清晰的数学习多种有效的计算策略，包学概念通过形象的比喻和具括试商法、利用乘法口诀和竖体的例子，使抽象的数学概念式计算我们会通过大量的练变得容易理解和记忆习和互动活动，帮助学生熟练掌握这些计算技巧学会应用有余数除法解决实际问题什么是有余数的除法？定义实际意义有余数的除法是指在平均分配后还有剩余部分的除法运算这种带余除法反映了现实世界中的不完美分配比如将苹果分给学除法也被称为带余除法，是我们日常生活中常见的数学场生，可能会有剩余；安排人员乘坐交通工具，可能会有空座位景当我们无法将一个数量完全平均分配时，就会产生余数这个余理解有余数的除法，有助于我们更准确地描述和解决这类实际问数代表着无法再次平均分配的部分题，使数学与生活紧密联系起来有余数除法的基本概念被除数除数商被除数是指要被分配的总除数是指分配的份数或每商是指平均分配后每份得量，即要除以另一个数的份的数量，即用来除被除到的数量它表示被除数数在有余数的除法中，数的数除数决定了我们中包含除数的完整次数被除数等于除数乘以商再如何进行分组或分配加上余数余数余数是指在平均分配后剩余的部分，它必须小于除数，表示不能再形成一个完整份的量余数的特点余数总是小于除数余数是不能再次平均分配的部分这是余数的核心特性如果余数大于或等于除数，那么我们还可余数代表着在当前除数条件下，以继续分配，形成更多的完整无法再形成一个完整份的剩余部份因此，有效的余数必须小于分这些剩余不足以按照规定的除数份数再次分配余数可以为零当被除数能被除数整除时，余数为零，表示可以完全平均分配，没有剩余这是有余数除法的特殊情况有余数除法的表示方法算式形式意义解释实际应用有余数的除法通常表示为表示被除，得到商和在解决实际问题时，我们需要根据问题情a÷b=a÷b=c......r a b c这个表达式中，是被除数，是余数这意味着可以分解为的个完整境正确理解商和余数的实际意义如个c......r ab rabc13除数，是商，是余数这种表示方法直份，外加个单位的剩余部分苹果分给人，每人得到个（商），还剩c rr43观地展示了除法运算的完整结果个（余数）1示例13÷4=

3......1被除数13被除数是，表示我们有个单位的物品需要进行分配这是我们要处理1313的总量在具体问题中，可能代表个苹果、本书等1313除数4除数是，表示我们要将这些物品分成份，或者每份包含个单位在应444用问题中，可能代表个人、个组或每组个单位444商3商是，表示每份可以分得个单位这是在平均分配后，每个部分得到的33完整数量在实际问题中，可能表示每人得到个苹果3余数1余数是，表示在平均分配后还剩余个单位这部分不足以再次分配在11具体问题中，可能表示分配后还剩个苹果1有余数除法与整除的关系整除是特殊情况判断整除1整除可以看作是有余数除法的特殊情当一个数能被另一个数整除时，其余数2况，即余数为的情况为，表示可以完全平均分配00实际意义数学表示4在实际应用中，整除表示可以完美分3如果a÷b=c......0，我们通常简写为a配，不会有剩余或不足，或者说能被整除÷b=c ab生活中的有余数除法场景生活中充满了有余数除法的实际应用场景当小朋友们分享糖果，总会面临不能平均分配的情况，需要决定如何处理剩余的部分家庭聚餐时，分苹果常常无法恰好分完，会留下几个学校里排座位或分组活动，经常会出现人数不能被座位数或组数整除的情况，产生空座位或人数不均的小组理解和运用有余数除法，能够帮助我们更好地解决这些日常生活中的实际问题操作演示分苹果准备材料首先，我们准备个苹果模型（可以是实物苹果或者苹果图片模型）这13些苹果将用于直观演示有余数除法的过程设定分配方案我们有人需要平均分配这些苹果每个人应该得到相同数量的苹果，4剩余的部分无法再次平均分配执行分配开始分配苹果，每人轮流获得个，直到无法保证每人再得到个为11止通过实际操作，学生可以看到每人最终获得个苹果3观察结果分配完成后，我们发现每人得到了个苹果，还剩余个苹果无法31再次平均分配这直观展示了的实际意义13÷4=

3......1有余数除法的计算方法

（一）1试商法介绍试商法是一种直观的有余数除法计算方法，特别适合初学者它通过尝试不同的商，找出最合适的结果这种方法帮助学生建立对除法运算的直观理解2从小到大尝试从较小的商开始尝试，逐步增加，直到找到合适的商例如，计算13÷4时，我们可以依次尝试商为

2、

3、4等3验证结果对每个尝试的商，我们计算除数与商的乘积，然后与被除数比较如果乘积小于被除数，且加上一个除数后大于被除数，则找到了正确的商4计算余数一旦确定了商，余数可以通过被除数减去除数与商的乘积得到如13÷4=

3......1中，余数1=13-4×3有余数除法的计算方法

（二）利用乘法口诀1熟练掌握乘法口诀是计算有余数除法的基础乘法口诀提供了数字间的乘积关系，帮助我们更快地确定商和余数找出最接近的乘积2通过乘法口诀，找出小于或等于被除数的最大乘积这个乘积的因数之一就是可能的商确定商和余数3一旦找到最接近的乘积，可以立即确定商和余数商是乘法中的一个因数，余数是被除数减去这个乘积的结果有余数除法的竖式计算—步骤一写出竖式，将被除数放在右侧，除数放在左侧，中间用一个符号分隔然后在被除数上方画一条横线，准备填写商—步骤二从被除数的高位开始，判断该位数能否被除数整除如果能，写出对应的商；如果不能，则商为0，将该位数与下一位合并计算—步骤三用除数乘以写出的商，将结果写在被除数下方对应位置，然后做减法将得到的差与被除数的下一位合并，继续计算—步骤四重复上述步骤直到被除数的所有位数都处理完毕最后得出的差值即为余数，写在最终结果中练习计算17÷5分析问题我们需要计算17除以5的结果这是一个典型的有余数除法问题，因为17不能被5整除我们需要找出商和余数选择方法可以使用试商法或竖式计算法对于这个简单的计算，两种方法都很直观我们可以思考5的几倍最接近17但不超过17？执行计算5×3=15，5×4=20因为151720，所以商是3余数是17-15=2验证结果检查5×3+2=17，验证结果正确因此，17÷5=

3......2答案17÷5=

3......2验证结果15×3+2=17计算余数217-15=2确定商3，因为最接近35×3=1517分析问题4需要找出商和余数17÷5余数和除数的关系余数除数不可能情况余数范围在任何有余数的除法中，余数必须小于除如果出现余数大于等于除数的情况，这表对于除数为的除法，余数的取值范围d r数这是余数的基本性质如果余数大于明我们的商选择不正确，需要增加商的是这意味着余数可以是0≤rd0或等于除数，那么我们还可以继续进行分值例如，是错误的，因（整除的情况），但绝不会大于或等于除17÷5=

2......7配，得到更大的商为余数大于除数数理解这一点对于验证除法计算结果至75关重要验证为什么余数小于除数？假设情境假设在一个除法问题中，余数大于或等于除数例如，假设17÷5=

3......7我们来分析这种情况是否合理分析矛盾如果余数为7，那么被除数应该是5×3+7=22，而不是17这与我们的原始问题不符或者说，如果被除数是17，且余数为7，那么5×商+7=17，商就应该是2，而余数应该是17-5×2=7调整商但是，如果余数为7，大于除数5，我们可以从这个余数中再分出一份，增加商的值也就是说，我们可以将余数7分为5和2，增加商1，得到商为3，余数为2得出结论因此，正确的结果应该是17÷5=

3......2，其中余数2小于除数5这证明了余数必须小于除数的规则是合理的有余数除法的验算方法验算公式示例演示有余数除法的验算公式是除数商余数被除数这个公以为例验算过程为×+=13÷4=

3......14×3+1=12+1=式反映了除法的本质，即被除数可以分解为除数的若干倍加上余结果等于被除数，因此计算正确1313数又如，验算结果17÷5=

3......25×3+2=15+2=17理解这个公式有助于我们验证计算结果的正确性，也有助于深入等于被除数，验证成功17理解除法的意义练习验算23÷7=

3......2理解题目我们需要验证这个除法结果是否正确使用验算公式23÷7=

3......2除数商余数被除数，即应该等于×+=7×3+223计算除数乘以商先计算这代表我们可以从中平均分配出份，每份含7×3=212337个单位加上余数然后将余数加到上这表示总共有个单位，22121+2=2323分配后每份个，共份，还剩个732得出结论因为，等于原始的被除数，所以7×3+2=2323÷7=的结果是正确的验算成功！

3......2有余数除法在实际生活中的应用物品分配问题时间计算问题容量问题在日常生活中，我们经常需要平均分配物在安排时间时，有余数除法很有用例在包装或存储物品时，我们需要计算可以品，如零食、书籍或玩具有余数除法帮如，计算分钟能完成多少个分钟的任装满多少容器，以及还会剩余多少物品425助我们确定每人可得到的数量，以及分配务，以及还剩余多少分钟这可以帮助我有余数除法提供了精确的计算方法，帮助后剩余的物品数量们更有效地规划和利用时间我们合理安排空间和资源应用题示例

（一）问题描述个苹果平均分给人，每人几254个？还剩几个？分析解题思路这是一个典型的物品分配问题，需要用有余数除法求解被除数是苹果总数，除数是人数254列式解答25÷4=......计算过程使用试商法或竖式计算，得出商和余数验证结果使用公式除数商余数被×+=除数，检查结果正确性解释答案根据计算结果，解释每人获得的苹果数量和剩余的苹果数量解答过程1分析问题我们需要将25个苹果平均分给4人，求每人分得几个苹果以及分完后还剩几个苹果这是一个有余数除法问题2列式计算25÷4=

6......1计算过程首先尝试4×6=24，接近25但不超过2525-24=1，所以余数是13验证结果验算4×6+1=24+1=25，等于原始的苹果总数，证明计算正确4解释答案根据计算结果，每人可以分得6个苹果，分完后还剩1个苹果这个结果符合实际情况，因为25个苹果不能被4整除应用题示例

（二）问题描述解题思路12一筐鸡蛋有个，每个装一盒，可以装几我们需要确定能装满多少个完整的盒子，以506盒？还剩几个？这是一个关于容量和包装的及剩余无法凑成一个完整盒的鸡蛋数量这实际应用问题需要用到有余数除法数学模型列式计算被除数是鸡蛋总数，除数是每盒的容量50我们需要计算出商和余50÷6=......436商表示可以装满的盒数，余数表示剩余数，从而回答问题的鸡蛋数解答过程列式计算验证结果解释答案我们需要计算50÷6的商和验算6×8+2=48+2=根据计算结果，50个鸡蛋每余数使用竖式计算或试商50，等于原始的鸡蛋总数，6个装一盒，可以装满8盒，法6×8=48，接近50但证明我们的计算是正确的还剩2个鸡蛋这两个鸡蛋不超过5050-48=2，不足以再装满一盒，所以只所以商是8，余数是2能作为剩余实际意义在实际应用中，我们可能需要考虑如何处理这2个剩余的鸡蛋是单独保存，还是使用其他包装方式，取决于具体情境应用题技巧关键词识别1平均分2每...一...当问题中出现平均分或平当问题使用每一这样的......均分配这样的词语时，通常表述时，也表示需要进行除表示我们需要进行除法运算法被除数是总量，除数是每被除数是要分配的总量，除数单位的量例如每个装一3是分配的份数如本书平盒，个可以装几盒，意味3650均分给名学生，意味着着93650÷3÷93剩下问题中提到剩下或剩余，暗示我们可能需要计算除法的余数这通常与还剩几个或还有几个等问法相关联解答这类问题时，需要特别注意余数的意义和处理练习自主设计一道有余数除法应用题练习目标参考示例这个活动旨在培养学生创造性地应用有余数除法解决实际问题的某学校组织春游，共有名学生参加如果每辆校车最多能坐62能力通过自主设计应用题，学生可以更深入地理解有余数除法人，学校至少需要租几辆校车？15的实际意义解答，表示辆校车能坐人，还有人没62÷15=

4......24602设计应用题时，学生需要考虑生活中的实际场景，构建合理的数座位因此，学校至少需要租辆校车这个例子展示了如何根5学模型，并确保问题有明确的解答方法据实际需求调整余数的处理方式学生作品展示和点评问题设计解答过程教师点评小明家有个橘子，他想把这些橘子平均解答，表示每个朋友可这个问题设计生动有趣，贴近学生生活3737÷5=

7......2分给他的个好朋友，每人分得几个橘以分得个橘子，还剩个橘子可以留给小解答思路清晰，正确运用了有余数除法的572子？小明自己还能留下几个橘子？明自己知识特别值得称赞的是，学生能够给出余数的实际意义解释这个问题很好地结合了生活情境，应用有这个解答正确应用了有余数除法，并对商余数除法解决分配问题数据设置合理，和余数给出了合理的实际解释计算过程建议可以扩展问题，如考虑小明是否参与问题表述清晰和验算都很准确分配等情况，增加问题的深度和变化有余数除法与估算估算的重要性在实际应用中，有时我们并不需要精确的除法结果，而只需要一个大致的估计估算可以帮助我们快速判断结果的合理性，并在计算前预测大致范围如何快速估算商估算商时，可以将被除数和除数都近似为整数或方便计算的数例如，估算83÷9时，可以将83近似为81或90，因为这些数更容易被9整除如何估算余数估算余数时，可以用被除数减去估算商与除数的乘积如估算83÷9的余数，如果估算商为9，则估算余数为83-9×9=83-81=2估算的应用场景估算在日常生活中非常有用，如预算规划、时间安排、物品分配等它让我们能够在不进行精确计算的情况下，做出合理的决策和判断估算技巧演示问题分析我们要估算的结果首先需要分析被除数和除数，思考如何近似处理这两个数，使得计算更加简便87÷9879选择近似值对于，我们可以选择近似为或更接近，但是的整数倍，可能更方便计算对于这个例子，我们可以尝试两种近似方8790819087819式估算过程（方法一）如果将近似为实际上，小于，所以应该略小于因此，商大约为至之间，余数需要进一步879090÷9=10879087÷910910估算估算过程（方法二）如果将近似为实际上，大于，所以应该略大于剩余部分，不足以再被整除878181÷9=9878187÷9987-81=69因此，商约为，余数约为96验证与调整计算，所以这与我们的估算结果一致，证明我们的估算方法是有效的9×9=8187-81=687÷9=

9......6有余数除法与四舍五入什么时候需要四舍五入处理余数的方法在某些实际应用中，我们可能需要将有根据余数与除数的比值决定是否向上取1余数除法的结果四舍五入为整数或特定整如果余数除数的一半，通常四舍2≥位数的小数五入为更大的整数精确性与实用性的平衡不同应用场景4四舍五入是在精确计算和实用需求之间在不同场景中，余数的处理方式可能不3取得平衡的方法，帮助我们得到更实用同例如，涉及座位或容器数量时，通的结果常需要向上取整练习89÷10的结果如何四舍五入？计算除法结果我们首先需要计算89÷10的精确结果89÷10=

8......9，表示商为8，余数为9在不同场景下，我们可能需要将这个结果四舍五入为整数或小数分析余数与除数的关系余数9与除数10的关系是9/10=

0.9由于

0.

90.5（即余数大于除数的一半），按照四舍五入的原则，应该向上取整应用四舍五入规则根据标准的四舍五入规则，89÷10=

8.9应该四舍五入为9这意味着，如果需要一个整数结果，我们会选择9而不是8考虑实际应用场景在实际应用中，四舍五入的结果可能需要根据具体场景调整例如，如果是计算需要的容器数量，可能总是需要向上取整，而不论余数大小有余数除法与小数除法形式有余数表示小数表示转换方法13÷

43......

13.25余数1除以除数41÷4=

0.2517÷

53......

23.4余数2除以除数52÷5=

0.423÷

73......

23.

2857...余数2除以除数72÷7≈

0.

2857...89÷

108......

98.9余数9除以除数109÷10=

0.950÷

68......

28.

3333...余数2除以除数62÷6≈

0.

3333...有余数除法与分数基本转换方法常见例子分析有余数除法可以表示为带分数形式余数作为分子，除数作为分以为例，可以表示为，读作三又五分之17÷5=

3......232/5母，与商一起构成带分数这种表示方法在许多数学场景中非常二这表示个完整单位加上分之个单位352有用，尤其是在精确表示循环小数时再如可以表示为可以23÷7=

3......232/789÷10=

8......9例如，可以表示为，表示又分之表示为这些分数表示法精确地展示了除法结果13÷4=

3......131/434189/10比较小数表示与分数表示小数表示的优缺点分数表示的优缺点适用场景分析小数表示的优点包括便于比较大小、适合分数表示的优点包括精确表示任何有理数，在工程测量、财务计算和科学实验中，小数计算器使用、在十进制系统中直观小数表无精度损失；适合进行分数运算；在某些理表示更为常用而在理论推导、分数运算和示在科学计算和日常生活中应用广泛，如金论分析中更加方便需要精确结果的场景下，分数表示则更为适钱计算合缺点是不够直观，比较大小需要额外计算；缺点是某些除法可能产生无限循环小数，在实际测量和计算中使用不如小数方便理解两种表示法的优缺点，有助于在不同场需要四舍五入或截断，导致精度损失景中选择最合适的表达方式有余数除法的进阶应用1连续除法问题2余数问题连续除法是指对一个数进行多余数问题是指通过已知除法的次除法运算的问题例如，先余数，推导出原数或其他条件将一个数除以，得到的商再的问题例如，一个数除以a7除以这类问题通常需要我余，除以余，求这个数的b352们分步处理，注意每一步余数最小值这类问题通常需要的处理和下一步计算的关系列举可能的数值，或应用数论中的中国剩余定理求解3同余问题同余是数论中的重要概念，与余数密切相关如果两个数除以同一个除数得到相同的余数，则这两个数被称为同余这一概念在密码学、日期计算等领域有广泛应用连续除法示例1问题描述156本书，每5本一摞，每3摞一堆，共几堆？还剩几本？这是一个典型的连续除法问题，需要我们分两步进行计算和分析2第一步计算首先，我们需要计算156本书可以分成多少摞，以及还剩余几本书列式156÷5=

31......1这表示可以分成31摞，每摞5本，还剩1本书无法凑成一摞3第二步计算接下来，我们需要计算31摞可以组成多少堆，以及还剩余几摞列式31÷3=

10......1这表示可以组成10堆，每堆3摞，还剩1摞无法凑成一堆4结果分析综合两步计算，我们得出156本书最终可以组成10堆（每堆15本书），剩余1摞（5本书）和1本书因此，答案是共10堆，还剩6本书（1摞5本加1本）解答过程最终答案1堆，剩余本106整合剩余部分2剩余摞（本）和本，共本1516第二步计算堆数3（堆，剩摞）31÷3=

10......1101第一步计算摞数4（摞，剩本）156÷5=

31......1311问题分解5本书，先分摞（每本），再分堆（每摞）15653余数问题示例问题描述问题分析一个数除以7余3，除以5余2，这个数最小是多少？这是一个典型的余数问题，需要我们通过已知的余数信息这个数除以7余3，意味着它可以表示为7k+3的形式，其中k是某个非负整数同时，它除以5余2，意味着推导出原数它也可以表示为5m+2的形式，其中m也是非负整数解题策略数学原理我们可以列举满足第一个条件（除以7余3）的所有可能数3,10,17,24,31,38,45,

52...然后检查这些数这类问题也可以通过中国剩余定理解决，但对于简单情况，列举法更为直观理解余数的周期性质对解决这类除以5的余数，找出满足第二个条件（除以5余2）的最小值问题至关重要解答思路分析条件一数除以余，可以表示为形式，其中所以73N=7k+3k=0,1,2,

3...可能的数有3,10,17,24,31,38,45,

52...分析条件二数除以余，可以表示为形式，其中52N=5m+2m=0,1,2,

3...所以可能的数有2,7,12,17,22,27,32,37,

42...寻找共同满足的数我们需要找到同时在这两个序列中出现的最小数通过比对两个序列，我们可以发现是第一个同时满足两个条件的数17验证结果检查是否满足所有条件余余1717÷7=23✓17÷5=32两个条件都满足，但继续检查更小的数是否可行✓解答过程可能的数除以7的余数除以5的余数是否同时满足条件1010÷7=1余310÷5=2余0不满足，余数不是21717÷7=2余317÷5=3余2满足2424÷7=3余324÷5=4余4不满足，余数不是23131÷7=4余331÷5=6余1不满足，余数不是23838÷7=5余338÷5=7余3不满足，余数不是2通过上表的系统分析，我们可以看出，17是第一个满足除以7余3，除以5余2两个条件的数继续检查更大的数，如果存在其他满足条件的数，它们会是17加上7和5的最小公倍数35的倍数，即52,87,

122...等因此，一个数除以7余3，除以5余2，这个数的最小值是17有余数除法在编程中的应用有余数除法在编程中有广泛应用，最基础的是奇偶数判断通过检查一个数除以的余数，可以确定该数是奇数还是偶数例如，2if n表示是偶数，表示是奇数%2==0n ifn%2==1n在循环结构中，余数运算常用于控制循环行为，如每处理个元素执行特定操作例如，表示每处理个元素执行一次操n ifi%5==05作在数组索引计算中，余数运算可用于实现循环访问例如，可确保索引始终在有效范围内，实现环形缓冲区等数据结array[i%size]构余数的特性使其成为编程中解决特定问题的强大工具。