《有余数除法的原理与应用》课件

有余数除法的原理与应用数学是解决问题的强大工具，而有余数除法是我们日常生活中经常使用的数学运算之一它不仅是基础数学的重要组成部分，更是解决各种实际问题的有效方法本课程将深入探讨有余数除法的原理，教授计算技巧，并通过丰富的例子展示其广泛应用课程目标1理解概念2掌握方法通过生动的例子和清晰的系统学习有余数除法的多解释，帮助学生全面理解种计算方法，包括基本运有余数除法的基本概念，算、竖式计算、估算技巧包括余数的定义、除法的等，通过大量练习加强记本质含义以及它在数学体忆和理解，使学生能够熟系中的位置这种理解将练准确地进行有余数除法成为学习后续内容的坚实运算基础解决问题什么是有余数除法？基本定义余数概念有余数除法，顾名思义，是指在除法计算过程中，被除数不余数是指在除法计算后剩余的部分，它反映了被除数不能被能被除数整除，计算结果除了商还有余数的除法运算这是除数整除的情况余数的存在使得除法运算更具普遍性，能我们日常生活中最常见的除法类型，与整除（没有余数的除够处理更广泛的数学问题理解余数的概念是掌握有余数除法）形成对比法的关键有余数除法的表示方法算式表示口述表示在数学书写中，有余数除法通常表示在口头表达中，我们通常说被除数为被除数÷除数=商余除以除数，商多少余多少例如，······数这种表示方法清晰地展示了除法17÷5=32，口述为17除······的所有组成部分，多个点表示余数，以5，商3余2这种表达方式简洁明区别于等号后的商了，便于交流有余数除法的基本性质余数小于除数在任何有余数除法中，余数必须小于除数这是有余数除法的基本性质之一如果余数大于或等于除数，那么计算结果就是错误的，因为我们还可以再从余数中取出一个或多个完整的除数商的特点除法得到的商是不大于真商的最大整数所谓真商，是指被除数与除数相除的准确值在有余数除法中，我们只取整数部分作为商，余下的小数部分通过余数来表示数学关系有余数除法中的四个量（被除数、除数、商和余数）之间存在着严格的数学关系，理解这些关系有助于我们正确运用和验证除法结果有余数除法的验算方法实施验算在完成除法计算后，可以使用验算公2式检查结果是否正确将除数与商相理解验算公式乘，然后加上余数，如果结果等于被除数，则计算无误有余数除法的验算公式为除数×1商+余数=被除数这个公式反解决问题映了除法和乘法之间的关系，是验证除法结果正确性的重要工具验算不仅是检查计算错误的手段，也是理解除法本质的途径通过验算，3我们可以更深入地理解除法过程中各个量之间的关系练习判断以下除法是否有余数12÷317÷4分析需要判断12是否能被3整分析需要计算17除以4的结除我们知道12=3×4，所果17=4×4+1，所以17以12可以被3整除，没有余数除以4的商是4，余数是1由于因此，这是一个无余数的除法，有余数，所以这是一个有余数的即整除除法25÷5分析需要判断25是否能被5整除25=5×5，所以25可以被5整除，没有余数因此，这是一个无余数的除法，即整除有余数除法的计算方法

（一）1步骤1确定商的整数部分首先，我们需要找出不大于真商的最大整数这可以通过寻找最大的整数n，使得n×除数被除数这个整数n就是我们的商在实≤际计算中，可以利用乘法口诀或已知的乘法事实来确定这个整数2步骤2计算余数确定商后，计算被除数-除数×商这个差值就是余数余数表示在除法过程中，被除数中还剩余的部分根据有余数除法的性质，这个余数必须小于除数3步骤3验算结果使用验算公式除数×商+余数=被除数，检查计算结果是否正确这一步对于确保计算的准确性非常重要，尤其是在处理复杂数字时有余数除法的计算方法

（二）示例问题让我们以37÷5=为例，演示有余数除法的计算过程这是一个典型的有余数除法问题，我们将按照前面介绍的步骤进行计算确定商首先，我们需要找出5的最大倍数，使其不超过375×7=35，5×8=4037，所以我们的商是7这是因为7是使得5×n37≤成立的最大整数计算余数然后，我们计算余数37-5×7=37-35=2所以余数是2这表示在37中，除了7个完整的5，还剩余2验算结果最后，验算5×7+2=35+2=37，与原被除数相等，证明我们的计算是正确的因此，37÷5=72······练习计算以下有余数除法123÷4=241÷6=计算思路首先找出4的最大计算思路找出6的最大倍数倍数不超过23的数4×5=不超过41的数6×6=20，4×6=2423，所以36，6×7=4241，所以商是5余数为23-4×5=商是6余数为41-6×6=23-20=3所以23÷4=41-36=5所以41÷6=53验算4×5+365验算6×6+5············=20+3=23，计算正确=36+5=41，计算正确358÷7=计算思路找出7的最大倍数不超过58的数7×8=56，7×9=6358，所以商是8余数为58-7×8=58-56=2所以58÷7=82验算7×8+2=56+2=58，计算正确······有余数除法的应用场景平均分配问题周期性问题分组问题当物品不能平均分配给所有人时，有余有余数除法在处理周期性问题时非常有当需要将物品或人按固定数量分组时，数除法可以帮助我们计算每人分得的数用，例如计算某天是星期几、某月的第有余数除法可以帮助计算可以分成的组量和剩余的物品数这类问题在日常生几天等通过除以周期长度并分析余数和剩余的数量这在学校组织活动、活中非常常见，如分糖果、分书本等数，我们可以确定在周期中的位置工厂生产等场景中经常使用应用场景一平均分配问题第一个人第二个人第三个人第四个人剩余例题25个苹果平均分给4人，每人几个？还剩几个？这是一个典型的平均分配问题，我们可以用有余数除法来解决解题过程计算25÷4=61，意味着每人可以分得6个苹果，还剩余1个苹果这种分配方式确保了公平性，每人得到相同数量的苹果，余下的部分可以留作他用······练习平均分配问题问题描述131本书平均分给5个小组，每组几本？还剩几本？这是一个需要应用有余数除法的平均分配问题分析过程2我们需要计算31÷5的结果，确定每组能分得的书本数量和剩余的书本数量解题结果3计算31÷5=61，这意味着每个小组可以分得······6本书，还剩余1本书未分配在实际应用中，未分配的书可以作为公共资源，或通过其他方式决定如何处理这个例子展示了有余数除法在公平分配资源时的实际应用价值应用场景二周期性问题星期二星期一周二是一周的第2天，在周期为7的问题中代表周一通常是一周的开始，在周期计算中常表示余数为2的情况为第1天2星期三1周三是一周的第3天，当我们计算今天是星期3三，20天后是星期几时，需要运用有余数除法星期日7周日是一周的第7天，在计算时可以表示为余数为0或7星期四4周四是一周的第4天，在周期计算中表示为余数6为4的情况5星期六星期五周六是一周的第6天，通常是周末的第一天周五是一周的第5天，周末前的最后一个工作日例题今天是星期三，20天后是星期几？解题过程首先，将星期三视为起点一周有7天，所以我们计算20÷7=26，意味着经过2个完······整的周期（14天）后，还有6天星期三再过6天是星期二因此，20天后是星期二练习周期性问题理解问题应用除法某人在周一开始跑步，第18天是星期几？这是一个典型的周期性问题，我们需要通过有余数除法来确定在周期中的计算18÷7=24，意味着经过2个完整的周期······具体位置（14天）后，还经过了4天周一再过4天是周五1234分析周期得出结论一周有7天，从周一到周日我们把周一看作起点，需要因此，第18天是星期五这个结果可以通过日历直接验证计算经过18天后，在周期中的位置应用场景三分组问题40总人数需要排队的总人数6每排人数每个队伍的规定人数6完整队伍可以组成的完整队伍数4剩余人数无法编入完整队伍的人数例题40人排成每排6人的队伍，可以排几排？还剩几人？这是一个分组问题，我们可以通过有余数除法来解决解题过程计算40÷6=6······4，意味着可以排6排完整的队伍，每排6人，还有4人无法编入完整队伍在实际应用中，这4人可以单独编组，或者分配到已有的队伍中练习分组问题问题理解计算过程结果应用53个小球，每5个一组，可以分几组？计算53÷5=103，得到商最终，我们得到10组完整的5球组和3个······还剩几个？这是一个需要应用有余数除10和余数3这意味着我们可以形成10剩余的球在实际应用中，这3个球可法的分组问题，我们需要确定完整组数个完整的组，每组包含5个小球，并且以单独放置，或者根据需要再考虑其他和剩余球数还剩余3个小球无法形成一个完整的分配方案组有余数除法在实际生活中的应用辅助决策1帮助我们在复杂情况下做出最佳选择资源分配2合理规划与分配有限资源时间计算3准确计算时间段、日期和周期购物找零4计算价格差额和应返还金额生产分配5优化生产流程和包装方案有余数除法在我们的日常生活中无处不在从简单的购物找零到复杂的生产规划，它帮助我们优化决策，提高效率例如，在购物时，我们使用有余数除法计算找零；在安排时间时，我们用它预测未来日期；在生产中，它帮助确定包装数量和剩余产品的处理方式应用实例购物找零问题描述买78元的商品，支付100元，应找回多少钱？这是一个典型的购物找零问题，我们可以通过有余数除法或减法来解决数学模型从数学角度看，这个问题可以表述为100-78=虽然这通常用减法解决，但也可以视为有余数除法问题78除以100的余数是多少？计算过程直接计算100-78=22所以应找回22元实际应用在日常购物中，我们经常需要计算找零准确计算不仅避免经济损失，也是基本数学能力的体现练习购物找零问题买65元的书，支付100元，应找回多少钱？这是一个简单的购物找零问题，我们可以通过减法或有余数除法的思路来解决解题过程我们需要计算100-65的结果100-65=35，所以应找回35元在实际购物中，准确计算找零金额是非常重要的基本技能，可以避免不必要的经济损失应用实例时间计算起始时间现在是14:50，这是我们的计算起点时间以小时和分钟表示，需要注意小时和分钟的进位关系时间跨度经过125分钟，我们需要计算这段时间后的准确时间125分钟可以分解为2小时5分钟（120分钟+5分钟）计算过程14:50加上2小时后为16:50，再加5分钟为16:55因此，125分钟后是16:55验证结果我们可以用另一种方法验证14:50表示为分钟是14×60+50=890分钟，加上125分钟为1015分钟1015÷60=16小时55分钟，即16:55练习时间计算理解问题分解时间电影开始时间是15:30，片长137分首先，将137分钟分解为小时和分1钟，何时结束？这是一个需要应用时钟137分钟=2小时17分钟（120分2间计算的问题，我们需要确定电影结钟+17分钟）束的准确时间验证结果计算终点我们可以通过分钟总数验证15:30415:30加上2小时后是17:30，再加17表示为15×60+30=930分钟，加上1373分钟得到17:47因此，电影结束时分钟为1067分钟1067÷60=17小时间是17:4747分钟，即17:47应用实例生产分配例题工厂生产850个零件，每箱装60个，需要多少箱？还剩几个？这是一个典型的生产分配问题，我们需要通过有余数除法来解决解题过程计算850÷60=1410，表示可以装满14箱，每箱60个零件，还剩余10个零件无法凑成一个完整的箱子在实际生产中，这些剩余的零件可能会单独包······装，或等待下一批生产后再进行装箱练习生产分配1问题分析工厂生产1275个产品，每箱装80个，需要多少箱？还剩几个？这是一个需要应用有余数除法的生产分配问题我们需要计算可以装满的完整箱数和剩余产品数2数学计算计算1275÷80的结果1275=80×15+75，因此商是15，余数是75这意味着可以装满15箱，每箱80个产品，还有75个产品无法装满一个完整的箱子3实际应用在实际生产环境中，这75个剩余产品可能会单独包装，或与下一批次产品合并包装有余数除法帮助工厂优化生产流程，减少资源浪费有余数除法与乘法的关系互为逆运算验证公式实际应用有余数除法和乘法是互为逆运算的关有余数除法的验证公式是被除数=理解有余数除法与乘法的关系有助于系在有余数除法中，我们可以通过除数×商+余数例如，对于25我们更准确地进行计算和验证在解乘法来验证结果的正确性具体来÷7=34，我们可以验证7决实际问题时，这种关系可以帮助我······说，被除数等于除数乘以商再加上余×3+4=21+4=25，等于原被们从不同角度思考问题，找到最优解数这种关系使得有余数除法和乘法除数，证明计算正确决方案在数学计算中密切相连有余数除法的估算估算的重要性商的估算方法在进行有余数除法计算时，估算商的方法通常是将被除估算是一项重要技能估算数和除数简化为便于计算的可以帮助我们快速得到近似数字，然后进行除法运算结果，验证计算的合理性，例如，估算298÷52时，可避免明显错误在日常生活以将其简化为300÷50=中，很多情况下我们并不需6，得到的估算值接近实际商要精确的计算结果，估算就值足够了余数的估算方法余数的估算通常在估算商之后进行根据估算的商，计算被除数减去除数乘以商的结果，得到估算的余数如果这个估算余数明显大于或等于除数，那么估算的商可能偏小练习估算以下除法结果练习1约87÷9估算思路87接近90，而90÷9=10，所以87÷9约等于10或略小于10实际计算87÷9=≈96，与估算结果非常接近······练习2约152÷15估算思路152接近150，15接近于15，150÷15=10，所以152÷15约等于10或略大于10实≈际计算152÷15=102，与估算结果完全一致通过这些练习，我们可以看到估算在有余数除法中的实用性······有余数除法的简便计算利用乘法口诀利用10的倍数分解法在进行有余数除法计算当除数或被除数是10的对于较复杂的除法，可时，乘法口诀表是一个倍数时，可以通过移动以将被除数分解为几部非常有用的工具熟练小数点的方式简化计分进行计算例如，计掌握乘法口诀可以帮助算例如，计算350÷算157÷6时，可以将我们快速确定商的整数70时，可以同时除以157分解为120+37，部分，提高计算效率10，转化为35÷7=分别计算120÷6=例如，在计算47÷85，所以350÷70=20和37÷6=时，我们可以利用8×5这种方法大大减少61，然后合并结······5=40和8×6=了计算难度果20+6=26余148，确定商为5，余数为7练习简便计算181÷9=2120÷8=利用乘法口诀进行简便计算利用分解法进行计算我们可根据9×9=81，我们可以以将120分解为80+40，然后直接得出结果81÷9=分别计算80÷8=10和409，没有余数这是一个整除÷8=5，最后合并结果10的例子，通过熟记的乘法口+5=15所以120÷8=诀，计算变得非常简单15，没有余数3195÷15=利用分解法和10的倍数特性首先，将被除数和除数同时除以5，转化为39÷3=13所以195÷15=13，没有余数这种方法大大简化了计算过程有余数除法的竖式计算竖式排列方法计算步骤余数的处理有余数除法的竖式计算是一种结构化的竖式除法按位进行计算首先从被除数在竖式除法的最后一步，当所有位都处方法，适用于较大数字的除法运算在的最高位开始，如果小于除数，则结合理完毕后，如果最终结果不等于0，这竖式中，被除数写在右侧，除数写在左下一位继续比较找到不小于除数的部个结果就是余数在竖式的表示中，余侧，形成除号的形状商通常写在被分后，计算当前位的商，并将商与除数数通常写在最后一行的下方，或者在商除数上方这种排列方法清晰地展示了的乘积从被除数中减去，得到余数然的后面用余几表示计算的每一步后处理下一位，重复此过程示例竖式计算73÷8步骤1排列竖式首先，我们将73作为被除数，8作为除数，按照竖式除法的格式排列被除数73放在除号内，除数8放在除号左侧商将写在被除数上方步骤2计算十位数从被除数的最高位7开始，判断7是否大于等于除数8由于7小于8，我们需要结合下一位，得到73计算73除以8的商，得到9（因为8×9=72，8×10=8073）步骤3计算余数用73减去72（8×9），得到余数1因此，73÷8=91······步骤4验算结果验算8×9+1=72+1=73，等于原被除数，证明计算正确练习用竖式计算95÷7=134÷11=首先，排列竖式被除数95放在除号内，除数7放在除号左排列竖式被除数134放在除号内，除数11放在除号左侧侧从最高位9开始，9大于7，可以除9÷7=1余2将从最高位组合开始，13大于11，可以除13÷11=1余余数2与下一位结合，得到2525÷7=3余4因此，952将余数2与下一位结合，得到2424÷11=2余2因÷7=13余4验算7×13+4=91+4=95，结果此，134÷11=12余2验算11×12+2=132+2正确=134，结果正确有余数除法的错误类型1商过大2余数大于或等于除数这是一种常见的错误，即计算这是另一种常见错误，即计算出的商大于正确值这通常发出的余数大于或等于除数根生在对乘法口诀掌握不牢或估据有余数除法的性质，余数必算不准确时例如，将35÷须小于除数若出现余数大于6计算为6余5，而正确答案应或等于除数的情况，表明商应为5余5当商过大时，余数往该再增加1例如，将47÷8往会变为负数或者异常大计算为5余7是错误的，正确答案应为5余73验算错误有时学生在计算正确后，因为验算步骤出错而导致最终结果错误例如，将23÷5=4余3的验算写成5×4+3=23时，可能因为乘法计算错误导致验算结果不正确，从而怀疑原计算结果纠错练习找出并纠正错误原式错误答案错误类型正确答案29÷4=81商过大71············45÷6=76余数过大73或············80······37÷5=72乘法验算错误72正确············在第一个例子中，29÷4=81是错误的，因为4×8=32······29正确答案应为7余1，因为4×7=28，29-28=1在第二个例子中，45÷6=76是错误的，因为余数6等于除数6，······这违反了余数必须小于除数的原则正确答案应为7余3或8余0在第三个例子中，37÷5=72实际上是正确的，但可能在验算时······出错验算5×7+2=35+2=37，结果正确有余数除法与分数的关系余数表示为分数在有余数除法中，余数可以表示为分数具体来说，余数除以除数可以表示为一个真分数，然后与商相加得到一个带分数，这个带分数是被除数除以除数的精确值转换公式设被除数为a，除数为b，商为q，余数为r，则有a÷b=q余r，可以表示为分数a÷b=q+r/b这个分数表示是有余数除法的精确值实际应用这种转换在许多实际问题中很有用，特别是当需要进行进一步计算或比较大小时例如，在计算平均值或需要精确结果的场景中，将有余数除法转换为分数形式更为合适练习将有余数除法转化为分数练习17÷5=32转化为分数首先，我们得到商3和余数2根据转换公式，我们可以将余数2表示为分数2/5，然后加上商3，得到带分······数3+2/5=32/5因此，17÷5=32/5验证5×32/5=5×17/5=17，结果正确通过这种方法，我们可以将任何有余数的除法转换为精确的分数形式，为进一步的数学运算提供便利有余数除法与小数的关系概念联系1有余数除法和小数除法是密切相关的在有余数除法中，我们得到整数商和余数；而在小数除法中，我们可以继续除下去，得到带小数的精确商两种方法本质上是解决同一问题的不同表现形式转换方法将有余数除法转换为小数形式，可以通过继续进行除法运算实现具体来说，余数2后面添加小数点和0，然后继续除，得到小数部分或者，可以直接用余数除以除数，得到对应的小数应用场景在需要精确计算且适合使用小数表示的场景中，将有余数除3法转换为小数是很有用的例如，在计算平均值、百分比或金融计算时，小数表示通常更为直观和实用练习将有余数除法转化为小数234被除数除数除法运算中的被除数除法运算中的除数

50.75商小数除法结果的整数部分余数转换后的小数值练习23÷4=53转化为小数我们得到商5和余数3将余数3转化为小数，可以计算3÷4=

0.75因此，23÷4=5+

0.75=

5.75······验证4×

5.75=4×23/4=23，结果正确通过这种方法，我们可以将任何有余数的除法转换为精确的小数形式，在需要精确计算的场景中非常有用有余数除法的应用技巧判断整除求最大公约数有余数除法可以用来判断一辗转相除法（欧几里得算个数是否能被另一个数整法）是求两个数最大公约数除如果除法的余数为0，的经典方法，其核心就是利那么被除数就能被除数整用有余数除法通过不断用除这在判断数的性质、解除数除以余数，直到余数为决整除性问题时非常有用0，最后的除数就是两个数的最大公约数求最小公倍数有余数除法在求最小公倍数时也有应用我们可以先求出两个数的最大公约数，然后用两数之积除以最大公约数，得到最小公倍数这种方法比较高效，特别是对于较大的数应用技巧判断整除问题描述直接计算法例判断78是否能被3整除这是一我们可以直接计算78÷3的结果个需要应用有余数除法的整除性判断78÷3=26，余数为0因此，781问题，我们需要确定78除以3的余数可以被3整除这种方法直接明了，2是否为0适用于较小的数数字特征法结论应用对于3的整除性，有一个特殊技巧通过上述分析，我们得出78可以被34一个数的各位数字之和能被3整除，整除的结论理解这些判断整除的技3则该数能被3整除78的各位数字之巧对于处理更复杂的数学问题非常有和是7+8=15，15不能被3整除帮助（15÷3=5余0），所以78可以被3整除练习判断整除练习1125是否能被5整除练习2246是否能被9整除分析需要判断125是否能被5整除根据5的整除特征，一分析需要判断246是否能被9整除根据9的整除特征，一个数的个位是0或5，则该数能被5整除125的个位是5，所个数的各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除246的以125能被5整除我们也可以直接计算125÷5=25，各位数字之和是2+4+6=12，12不能被9整除（12÷9=1余没有余数，因此125能被5整除3），所以246不能被9整除我们也可以直接计算246÷9=27余3，再次证明246不能被9整除。